Aula 12

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA  E RETAS PARALELAS

          Enquanto a equação geral ax + by +c = 0 relaciona as coordenadas x e y de um ponto qualquer da reta, as equações paramétricas x = f1  (t)  y = f2 (t) relacionam essas coordenadas com uma variável t, chamada parâmetro.

Por exemplo: Vamos verificar a reta de equações paramétricas:

                                                                

Se quisermos obter a equação geral dessa reta, basta isolar t numa das equações e substituí-lo na outra equação.

Assim, de x = 4t, tem-se t = x/4

Substituindo em y = 3t + 1, vem a equação geral da reta y:

Exercício de Fixação

1. Determinar a equação geral da reta, sendo que as equações paramétricas dessa reta são:

Dica: Isolar o parâmetro t na primeira equação e substituir na segunda equação, conforme exemplo anterior.

2. (UFPA) O coeficiente angular da reta de equações paramétricas:

a) -1/2

b) 1/2

c) 1

d) 2

e) 3

Verificando os resultados...

1. Quando você isolar o parâmetro t ficará assim: t = 2 - x

Substituindo na segunda equação ficará:

y = 1 + t

y = 1 + (2 - x)

y = 1 + 2 - x

x + y - 1 - 2 = 0

x + y - 3 = 0  ( resultado)

2. alternativa correta B

RETAS PARALELAS

            Duas retas, r e s, do plano cartesiano são paralelas (r//s) se, e somente se, ambas forem verticais, ou se os seus coeficientes angulares forem iguais.

             Caso as retas r e s tenham coeficientes angulares iguais (mr e ms) e coeficientes lineares iguais (nr e ns), então elas serão consideradas coincidentes, ou seja:

                                                   r = s ↔ mr = ms e nr = ns

Exemplo 1:

Veja o exemplo a seguir, retas paralelas distintas:

As retas (r)  x + 2y - 6 = 0   e    (s)  2x + 4y - 3 = 0 são paralelas, pois:

Calcula-se o coeficiente angular das retas r e s:

Substitua os valores da reta r e s na fórmula acima:

reta (r) → m= - 1/2

reta (s) → m= - 2/4 ... simplificando = -1/2

Agora, verifique o coeficiente linear das retas r e s:

Substitua os valores da reta r e s na fórmula acima:

reta (r) → n=  -  (-6)/2 = 3

reta (s) → n=  -  (-3)/4 = 3/4

Observamos que mr e ms são iguais, já nr e ns são diferentes, por isso, consideradas paralelas distintas.

Exemplo 2:

Agora, o exemplo de retas que NÃO são paralelas:

As retas (r)  4x - 3y + 7 = 0  e  (s)  2x - 3y + 7 = 0 não são paralelas, pois:

Vamos verificar o coeficiente angular da reta r e s:

Substitua os valores da reta r e s na fórmula acima:

reta (r) → m= - 4/-3 = 4/3

reta (s) → m= - 2/-3 = 2/3

Agora, verifique o coeficiente linear das retas r e s: 

Substitua os valores da reta r e s na fórmula acima:

reta (r) → n=  -  7/-3 = 7/3

reta (s) → n=  -  7/-3 = 7/3

Observamos que mr e ms são diferentes e nr e ns são iguais, portanto, não são paralelas.

                                                            Exercício de Fixação

 1. Classifique as retas r e s conforme suas posições relativas:

Dica: Verifique os exemplos para resolver esta atividade!!!

a) (r) 2x - y + 20 = 0

    (s) 2x - y + 1 = 0

b) (r) x - y - 3 = 0

    (s) 2x - 2y + 3 = 0

c) (r) x + 2y - 5 = 0

    (s) x +2y - 5 = 0

d) (r) - 3x + 3y - 3 = 0

    (s) 3x - 3y + 1 = 0

Verifique as suas respostas:

a) parelelas distintas

b) parelelas distintas

c) coincidentes

d) parelelas distintas